Закони на Кирхоф

Серия статии на тема
Класическа електродинамика
Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм
Електростатика Закон на Кулон Теорема на Гаус Електрически дипол Електрически заряд Интензитет на електрическото поле Електрично поле Електричен потенциал Електрет
Магнитостатика Магнит Магнитно поле Дипол Магнитен поток Магнитна индукция Интензитет на магнитното поле Магнитна проницаемост Магнитна възприемчивост Магнитен момент Намагнитване Феромагнетизъм Диамагнетизъм Парамагнетизъм Суперпарамагнетизъм Антиферомагнетизъм Феримагнетизъм Магнитна левитация Закон на Био-Савар Закон на Ампер
Електродинамика Електромагнитно поле Електромагнитна индукция Електромагнитно излъчване Дипол Сила на Лоренц Уравнения на Максуел Електромагнитен 4-потенциал Електричен потенциал Магнитен векторен потенциал Вълново уравнение Закъсняващ потенциал Оператор на Д'Аламбер Електрически диполен момент Електромагнит Ефект на Майснер
Електрическа верига Електрически ток Електрическо напрежение Волт-амперна характеристика Електрическо съпротивление Индуктивност Електрически капацитет Електрическа проводимост Електрически импеданс Закон на Ом Закони на Кирхоф Закон на Джаул-Ленц
Известни учени Хенри Кавендиш Майкъл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Кирхоф Джеймс Кларк Максуел Хайнрих Херц Алберт Абрахам Майкелсън Робърт Миликан Георг Ом Луи Неел

Законите на Кирхоф определят връзката между токовете (първи закон на Кирхоф) и напреженията (втори закон на Кирхоф) в разклонени електрически вериги и са описани за първи път през 1845 от Густав Кирхоф.

Те могат да се изведат пряко от уравненията на Максуел за електромагнитното поле, но Кирхоф публикува тези закони преди известния трактат на Максуел

За възел от електрическа верига – първи закон на Кирхоф

Алгебричната сума на всички токове в даден възел на една верига е равна на нула:

$I_{1}+I_{2}+I_{3}+\ldots +I_{n}=0$

или

$\sum _{k=1}^{n}I_{k}=0$

Схема на електрически възел

Или за показаната на фигурата схема:

$\ I_{1}-I_{2}+I_{3}-I_{4}-I_{5}=0$,

също сумата на влизащите токове е равна на сумата на излизащите токове:

$\ I_{1}+I_{3}=I_{2}+I_{4}+I_{5}$.

Този вид на уравненията е валиден за постоянни токове.

Първият закон на Кирхоф може да се разглежда като следствие от принципа за непрекъснатост на тока, формулиран от Ампер:

$\nabla \cdot (\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}})=0$,

където

$\mathbf {J}$ е плътността на тока на проводимост и конвекция, а

${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ е плътността на тока на електрическа индукция (въведен от Максуел).

От принципа за непрекъснатост на електрическия ток следва изразът на първия закон на Кирхоф за моментните стойности на токовете:

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$

За променливи синусоидални токове уравненията се записват за комплексните ефективни или амплитудни стойности:

$\sum _{k=1}^{n}{\dot {I}}_{k}=0$.

За затворен контур на електрическа верига – втори закон на Кирхоф

Алгебричната сума на напреженията в затворен контур от електрическа верига е равна на алгебричната сума на електродвижещите напрежения в същия контур.

При постоянни напрежения и токове:

$\sum _{k=1}^{n}U_{k}=\sum _{k=1}^{n}E_{k}$,

като напреженията за пасивните участъци на контура се изразяват така:

$U_{k}=R_{k}\cdot I_{k}$

Вторият закон на Кирхоф може да се разглежда като следствие от израза за циркулацията на интензитета на електрическото поле $\mathbf {E}$ по затворен контур. Ако този контур не съдържа източници на енергия (в потенциални полета), изразът се записва така:

$\oint \limits _{L}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0,$

При наличие на източници на енергия, изразът може да се запише така:

$\oint \limits _{L}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\oint \limits _{L}\mathbf {E_{w}} \cdot d\mathbf {l}$

Тук изразът в дясната страна на уравнението отразява наличието на непотенциални полета във вътрешността на източниците на енергия, като

$\mathbf {E_{w}}$

е интензитета на тези полета вътре в източниците.

От друга страна:

$\oint \limits _{L}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\sum _{k=1}^{n}u_{k}$

$\oint \limits _{L}\mathbf {E_{w}} \cdot d\mathbf {l} =\sum _{k=1}^{n}e_{k}$,

откъдето следва вторият закон на Кирхоф:

$\sum _{k=1}^{n}u_{k}=\sum _{k=1}^{n}e_{k}$

Тук $u_{k}$ и $e_{k}$ са съответно моментните стойности на напреженията и електродвижещите напрежения в затворения контур. При променливи токове е необходимо да се вземат предвид и индуктираните напрежения в индуктивните елементи – това може да стане както в лявата страна на уравненията по втория закон на Кирхоф, така и в дясната – като за това се използват определени правила.

При променливи синусоидални напрежения и токове, уравненията се записват за комплексните величини:

$\sum _{k=1}^{n}{\dot {U_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {E_{k}}}$,

където

${\dot {U_{k}}}=Z_{k}\cdot {\dot {I_{k}}}$,

а $Z_{k}$ е комплексният импеданс на пасивните клонове

Източници

Simonyi, K. Theoretische Elektrotechnik, Berlin, 1956, Deutscher Verlag der Wissenschaften.

Външни препратки

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Kirchhoff's circuit laws в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​